Circunferencia
- La Circunferencia.
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia constante de un punto fijo llamado centro.
La distancia de cada punto de la circunferencia al centro se llama radio.
Ø Elementos de la Circunferencia
a) Centro de la circunferencia
El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia
b) Radio de la circunferencia
El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
c) Cuerda
La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
d) Diámetro
El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
e) Arco
Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita
Ø Longitud de una Circunferencia
La longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro.
L= π * d
La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.
L= 2*π*r
Ø Ejercicios:
1.- Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de diámetro
Aplicando la fórmula: L= π * d y conociendo que la distancia del diámetro es de 90 centímetros y el valor de π es de 3,1416 Se sustituye en la fórmula y se obtiene:
L= 3,1416* 90 cm= 282, 74 cm
Por lo tanto la longitud de la cuerda de la circunferencia dada es: 282,74 centímetros.
2.- Calcular la longitud de una rueda que tiene 20 cm de radio
Aplicando la fórmula: L= 2 *π*r y conociendo que la rueda tiene un radio de 20 centímetros y que π ("pi") tiene un valor de 3,1416 resulta entonces al sustituir:
L= 2 * 3,1416 * 20 cm = 125,66 cm
Por lo tanto la longitud de la rueda dada es de: 125,66 centímetros.
Ø Ecuación Canónica de la Circunferencia
La ecuación canónica se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(X0,Y0) de radio R.
(X - X0)2 + (Y – Y0)2 = R2
Ø Ecuación General de la Circunferencia
AX2 + AY2 + BX + CY + D= O
Ø Ejercicios
1. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-2, 5) y radio 4
ü Aplicamos la ecuación canónica de la circunferencia: (X - X0)2 + (Y – Y0)2 = R2
ü Sustituyendo por el centro y el radio: (X + 2)2 + (Y – 5)2 = 42
ü Desarrollando: X2 + 4X + 4 + Y2 – 10Y+ 25 - 16= 0
ü Obtenemos la ecuación general de la circunferencia: X2 + Y2 +4x – 10Y+ 13= 0
2. Hallar el centro y el radio de la circunferencia: X2 + Y2 +6x – 3Y+ 8= 0
ü Agrupar según las variables, a un lado de la igualdad y del otro lado coloquemos los términos independiente: X2 + Y2 +6x – 3Y= -8
ü Aplicamos completación de cuadrado para sí hallar los dos binomios que nos permiten obtener las coordenadas del centro: (X2+ 6Y) +( Y2 – 3Y)=-8 +9+ 9/4
ü Resolvemos (X+ 3)2 + (Y – 3/2)2= 13/4
ü De esta forma nos queda que el centro es C (-3, 3/2) y el radio R = 1.80
Ejercicios de Autoevaluación.
1.-En los siguientes ejercicios que se dan a continuación, hallar la ecuación general de la circunferencia, conocidas el centro y el radio:
a) C(0 , 2) ; R = 2
b) C(3 , -4) ; R = 5
c) C(-2 , 0) ; R = 3
d) C(5 , -4) ; R = 6
2.- Hallar el centro y el radio de cada una de las siguientes circunferencias:
a) X2 + Y2 -10X + 8Y+ 5= 0
b) X2 + Y2 – 14X + 4Y+ 53= 0
c) 2X2 + 2Y2 + X + Y= 0
d) X2 + Y2 – 12X = -6Y- 61
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