domingo, 12 de febrero de 2017
SECCIONES CONICAS
Secciones Cónicas
- INTRODUCCIÓN
- HISTORIA DE LA SECCIONES CÓNICAS
- DEFINICIÓN DE LA SECCIONES
- LA CIRCUNFERENCIA
- LA ELIPSE
- LA PARÁBOLA
- INTRODUCCIÓN
Las figuras cónicas, se puede obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje, mientras que denominamos simplemente cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano, las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones simples.
La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas que estos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la Gravitación Universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.
La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.
Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.
- HISTORIA DE LA SECCIONES CÓNICAS
Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos Griegos hace mucho tiempo. Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.
Menaechmus realizó sus descubrimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de duplicar un cubo, pero fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.
CIRCUNFERENCIA
Circunferencia
- La Circunferencia.
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia constante de un punto fijo llamado centro.
La distancia de cada punto de la circunferencia al centro se llama radio.
Ø Elementos de la Circunferencia
a) Centro de la circunferencia
El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia
b) Radio de la circunferencia
El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
c) Cuerda
La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
d) Diámetro
El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
e) Arco
Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita
Ø Longitud de una Circunferencia
La longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro.
L= π * d
La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.
L= 2*π*r
Ø Ejercicios:
1.- Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de diámetro
Aplicando la fórmula: L= π * d y conociendo que la distancia del diámetro es de 90 centímetros y el valor de π es de 3,1416 Se sustituye en la fórmula y se obtiene:
L= 3,1416* 90 cm= 282, 74 cm
Por lo tanto la longitud de la cuerda de la circunferencia dada es: 282,74 centímetros.
2.- Calcular la longitud de una rueda que tiene 20 cm de radio
Aplicando la fórmula: L= 2 *π*r y conociendo que la rueda tiene un radio de 20 centímetros y que π ("pi") tiene un valor de 3,1416 resulta entonces al sustituir:
L= 2 * 3,1416 * 20 cm = 125,66 cm
Por lo tanto la longitud de la rueda dada es de: 125,66 centímetros.
Ø Ecuación Canónica de la Circunferencia
La ecuación canónica se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(X0,Y0) de radio R.
(X - X0)2 + (Y – Y0)2 = R2
Ø Ecuación General de la Circunferencia
AX2 + AY2 + BX + CY + D= O
Ø Ejercicios
1. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-2, 5) y radio 4
ü Aplicamos la ecuación canónica de la circunferencia: (X - X0)2 + (Y – Y0)2 = R2
ü Sustituyendo por el centro y el radio: (X + 2)2 + (Y – 5)2 = 42
ü Desarrollando: X2 + 4X + 4 + Y2 – 10Y+ 25 - 16= 0
ü Obtenemos la ecuación general de la circunferencia: X2 + Y2 +4x – 10Y+ 13= 0
2. Hallar el centro y el radio de la circunferencia: X2 + Y2 +6x – 3Y+ 8= 0
ü Agrupar según las variables, a un lado de la igualdad y del otro lado coloquemos los términos independiente: X2 + Y2 +6x – 3Y= -8
ü Aplicamos completación de cuadrado para sí hallar los dos binomios que nos permiten obtener las coordenadas del centro: (X2+ 6Y) +( Y2 – 3Y)=-8 +9+ 9/4
ü Resolvemos (X+ 3)2 + (Y – 3/2)2= 13/4
ü De esta forma nos queda que el centro es C (-3, 3/2) y el radio R = 1.80
Ejercicios de Autoevaluación.
1.-En los siguientes ejercicios que se dan a continuación, hallar la ecuación general de la circunferencia, conocidas el centro y el radio:
a) C(0 , 2) ; R = 2
b) C(3 , -4) ; R = 5
c) C(-2 , 0) ; R = 3
d) C(5 , -4) ; R = 6
2.- Hallar el centro y el radio de cada una de las siguientes circunferencias:
a) X2 + Y2 -10X + 8Y+ 5= 0
b) X2 + Y2 – 14X + 4Y+ 53= 0
c) 2X2 + 2Y2 + X + Y= 0
d) X2 + Y2 – 12X = -6Y- 61
sábado, 11 de febrero de 2017
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